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- 2021 年增訂版序
- 1978 年原版序
- 1979 年二版序
- 我的閱讀經驗/ 葉宗樺
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曲線篇
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第一章 引發曲線論的幾個基本問題
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1 兩曲線的全等問題
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2 曲線有多「直」多「平」?
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3 Jacobi 定理與管積問題
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第二章 Frenet標架法
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1 曲線線長的復習
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2 曲面面積的複習
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3 從問題D引發Frenet公式
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4 么速參數
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5 主法向量與線曲率
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6 Frenet公式
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第三章 管積求算與曲扭量度
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1 管積問題的解決
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2 曲扭量度
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3 用一般參數表示曲率與扭率
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第四章 密合性與構造方程
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1 與Frenet軸的密合
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2 密合平面、密合圓與密合球
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3 活動標架
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4 活動標架的唯一性
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5 活動標架的存在性
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第五章 曲線的全等問題與Jacobi定理的解決
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1 曲線的全等問題
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2 證明Jacobi定理的一些準備
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3 利用Gauss-Bonnet定理證明Jacobi定理
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4 最後的驗證
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曲面篇
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第一章 第一、二基本式與曲面論的幾個重要定理
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1 活動標架
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2 第一基本式
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3 第二基本式
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4 幾個重要問題或定理的陳述
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第二章 怎樣描述曲面彎曲的大小
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1 曲面(彎曲) 的一般認識
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2 法曲率是描述曲面彎曲的一套資料
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3 法曲率的坐標表示
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4 利用Lagrange乘子算法求法曲線的極值
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5 以均曲率與Gauss曲率代替繁多的法曲率
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第三章 用線性代數的觀點再看曲面彎曲的大小
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1 dX,de及I,II等定義上的意思
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2 用II與I的商表示法曲率
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3 升降指標與內積
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4 外形算子
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5 主方向的特徵
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6 Euler定理及均由率
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7 Gauss曲率與Gauss映射
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8 橢圓點、拋物點與雙曲點
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第四章 均曲率、調和性與Plateau問題
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1 測地線的參數
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2 指數映射與Laplace算子
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3 均曲率與Plateau問題
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第五章 Gauss Theorema Egregium
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1 測地座標
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2 測地線與測地方程
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3 一個驗證
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4 Gauss曲率與測地座標
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5 Gauss Theorema Egregium 的證明
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6 共變微分與平行性
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7 Gauss與holonomy角
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第六章 曲面上的Gauss-Bonnet定理
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1 平滑邊界下的局部性Gauss-Bonnet定理
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2 關於Hopf Umlaufssatz的點註說
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3 曲面上Gauss-Bonnet的一般定理
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4 一些推論
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第七章 Hopf-Poinc的標數定理
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1 定理的陳述
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2 標數的粗略意思
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3 奇點標數的再定義
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4 封閉曲面情形下的定理證明
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5 如果M有邊界
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第八章 藉組合觀點再看曲率的不變性
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1 定理的陳述
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2 Morse的標數定理
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3 多面複合上的函數標數
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4 曲率與Gauss-Bonnet定理
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5 曲率的內在性
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第九章 黎曼流形及其一階產品
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1 廣義曲面的例子
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2 抽取廣義曲面的特徵來定義Riemann流形
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3 切向量
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4 向量場
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5 映射φ*
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6 Riemann流行的再定義
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第十章 外微分與Poincare的引理
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1 df的意思
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2 積分的變數變換
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3 Pdx+Qdy=0的意思
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4 線積分
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5 ω=d∅的問題
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6 外微分
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- 參考資料
- 中文名詞索引
- 英文名詞索引
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